浅谈数学教育的价值

作者:山东积佳教育科技有限公司 发布时间:2018/12/1

中学所讲的这些数学知识是学生在未来的工作与学习所必须的基础数学知识,没有一个坚实的初等数学的基础,要学好高等数学是不可能的。而没有高等数学知识,又怎么学习近代的其他科学的知识呢?不用说理科与工科各个专业,就是一些文科专业,比如,经济类各专业,统计专业,金融专业,以及经济管理专业,同样需要较多高等数学的知识。我们应该看到,用拍脑门的办法制定政策的时代已经结束。一个正确的决定需要一个科学的定量分析,这就不能没有数学的参与,不论你愿不愿意,都是如此。在一些非理科专业工作的而数学基础薄弱的人们,在遇到数学符号与数学理论时,往往束手无策。想要搞清这些概念,为时已晚。数学这门学科有一个特点,即知识的连续性很强。要想懂得高等数学,就得先学好初等数学。而初等数学的学习需要时日,而且需要在少年时代学习,就像学语言一样。过了一定的年龄,再来学语言与算术已经不成了。没有这样的基础的人就只能是一个“心中无数的”人,更谈不上从事较高的专业性工作。

以上是从传授知识层面而言的。然而数学教育的意义远远不只是知识的传授,更为重要的应该是,数学的训练对青少年的心智、潜能的开发与提升,是深刻的、长远的,而且也是其他学科所不能替代的。

说到这里,我们需要专门讲讲欧几里得几何这门课,因为它是最能代表数学演绎精神和数学的教育意义的。大幅度削减几何课的内容与训练是目前实施的课程标准的一大缺失。

初中的平面几何,应该是初中数学教育最重要的一门课。它在整个中等教育占有特殊的地位:在青少年时期,欧氏几何的学习对于一个人的推理能力的训练与严谨的科学精神的养成,是必不可少的。如果一个人不懂得欧氏几何,很难说他懂得数学,也很难说他懂得什么是逻辑推理,就更难说他懂得什么是科学。

有人说,世界各国大多不再讲授欧氏几何,这根本不是事实,纯属误解。而应当说:用什么方式去讲解欧氏几何,什么时候讲,讲多讲少,各国各有不同。欧洲、日本、美国都有自己的做法,各不相同,但是无论如何不能认为世界各国都不讲欧氏几何。

欧几里得几何的原型是欧几里得所编的《几何原本》,出现在公元前270年左右,它是人类文明中的一座辉煌大厦。欧几里得在这本书中构建了人类有史以来的第一个完整的逻辑体系,它的完美、严密、精巧令人赞叹不已。爱因斯坦说:“在逻辑推理上的这种令人惊叹的胜利,使得人类为他们的未来成就获得了必要的信心。”

《几何原本》曾经作为教材,在欧洲使用一千年以上。欧几里得的书被翻译成世界各国文字,其版本之多,发行量之大,继续之久,仅次于《圣经》。千百年来,世界各国都以《几何原本》为基础,编写了各种教材,在初中阶段讲授。其目的在于训练学生的推理能力。用点、线、角、三角形、圆等这些学生容易接受而明确无误的数学对象为载体,训练他们的推理能力,这是一个十分有效的办法。我们不可能用一个国际政治问题、家庭纠纷问题或其他实际问题来训练学生,因为这些问题不仅复杂,而且具有不确定性。当我们鼓励与启发学生独立完成一个几何题目时,实际上就在培养他们的思考能力与探究精神。比如,过圆外一点做一条直线与一圆周相切。学生为了解决它就得不断地分析、试验,逐步到达胜利的终点。这个思考的过程使得他的能力得到提高。

一个中学生在他工作之后,有可能再没有遇到过一个几何题目或一个二次方程,但他从数学课中所培养起来的思考能力以及推理能力,却伴随他的终生。

我国明代科学家徐光启看到了欧几里得几何的教育意义,他把此书翻译成中文,并在出版此书的序言中说:“精通此书者,无一事不可精;好此书者,无一事不可学。”他的话是何等之精辟!

随着科学技术的进步与社会的发展,在人才的选拔上,人们逐渐意识到人的能力的重要性大于其知识多寡,也就说,一个人的能力,即分析问题、解决问题的能力和创新能力,尤其是创新能力,对于一个用人单位而言,更为重要。某些行业,人们越来越青睐于具有较高数学素养的人。近几十年,美国每年都有就业背景统计,数据显示,有数学背景的人才就业率每年都是最高的。这绝非偶然。

数学教育的意义还在于科学精神的培育,就是指概念的准确无误与推理的严谨。在中学里做几何题目时,用一条竖线隔开,左面叙述推理过程中每一步的结论,而右面写出每一条结论的依据。这种训练是十分必要的,应当坚持一定的阶段。在这样的潜移默化之中,学生就养成了不说没有根据的话,或者根据不足的话的习惯。

为达到概念的准确,要求我们对概念有一个规范的叙述,这就是数学中的定义。概念不能含混不清,不能在推理中偷换。数学的结论,应当用定理或命题写出。定理或命题包含两个部分:一是条件,二是结论。若两个三角形有两个内角相等,则它们相似。定义与定理是两件不同的事。定义一件事,可以不涉及它的存在性。比如人们可定义什么叫正托面体。但是,对于不少卵的值,它是不存在的,只有少数几个咒的值,它才是存在的。

近年来,笔者发现部分大一学生分不清什么是定义与定理,更不了解定义或定理的重要性,也不明白为啥要证明。由于初等数学的概念一般较为简单,一般不明确表出“定义”二字,或许还可以理解的。但是不标出定理,把许多重要结论淹没在各种数学叙述之中,而且没有突出出来,并且一般没有明确的证明,这是不妥的。

科学精神的培育要求科学地提出问题。一个愚蠢的问题会造成许多混乱,并且不利于学生的科学精神的养成。近年来,有些“舶来品”在我们这里很盛行,滑稽的是人家已经或正在取消这些东西,而我们却拿来当做至宝。比如,“一百万有多大?”“一百元在超市能买多少东西?”“20层楼有多高?”“一百万字的书有多厚?”还说什么是为了“培养学生的发散思维”。我只能说,这些讨论既不具有知识性,也不具有任何思维训练的意义,对学生没有任何好处。“以其昏昏,使人昭昭”,那是不成的。

科学精神包含着科学的怀疑,而怀疑正是思考的开始。马克思和笛卡儿都讲过这一点。但是我不赞成什么发散思维与逆向思维的提法。

科学知识应当具有一定的系统性。把本来系统的代数与几何的知识打碎,然后混杂在一起讲,今天讲三条线八个角,明天讲合并同类项,后天讲坐标,美其名日“打破学科界限”,“不断重复,螺旋上升”。这些做法是非常不当的。

一堂好的数学课,当然应当生动、有趣,课堂活跃,吸引学生的参与也是重要的。但这仅仅是一个手段,而不是我们的目的。仅仅是课堂活跃,而所讨论的问题没有价值,同样不能算是一堂好的数学课。

数学的应用当然是重要的。但是,一个真正的实际问题往往是复杂的,或许比其中的数学还困难。在这种条件下,要不要引到课堂上,就值得考虑。把某类实际问题交给学生去做实践观察,也要慎重,需要权衡得失。

既然数学是一门演绎科学,那么我们的教学活动应当把重点放在概念的准确理解与逻辑的推理上。中学数学概念大多容易被中学生接受,所以,一般说来,没有必要设计一些特殊的场景在课堂演示。这样做会浪费宝贵的时间而得不偿失。

搞好教学改革应当从实际出发,实事求是。衡量教学改革成败的唯一标准是实际教学效果,而不是什么“洋理念”或其“山寨版”,更不是什么“新提法”。

正确的改革应当具有继承性。抛弃自己的优良传统,而贸然用一种没有经过实践检验的东西替代它,那是危险的、有害的。